Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

Ebenen und Geraden können auf drei verschiedene Weisen zueinander liegen:

1. Die Gerade verläuft in der Ebene
2. Die Gerade schneidet die Ebene
3. Die Gerade liegt parallel zur Ebene

Welcher Fall vorliegt kann durch verschiedene Verfahren bestimmt werden.

Bestimmung der Lage durch ein lineares Gleichungssystem

Für diese Methode muss die Ebene in der Koordinaten- und die Geraden in der Parameterform vorliegen. Ist dies nicht der Fall müssen die Formen durch Umwandlungen erreicht werden.

Das Verfahren wird an Hand eines Beispiels erklärt:

Gleichung der Ebene in Koordinatenform: $E:2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 4$

Gleichung der Gerade in Parameterform: $g:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$

1. Die Geradengleichung wird in die einzelnen Komponenten geteilt

$$x_{1} = 3 + 2t$$

$$x_{2} = 2 + t$$

$$x_{3} = 1$$

2. Die Komponenten werden in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt

$$2(3 + 2t) + 3(2 + t) - 1 = 4$$

3. Es wird nach t aufgelöst

$$6 + 4t + 6 + 3t - 1 = 4$$

$$11 + 7t = 4$$

$$7t = - 7$$

$$t = - 1$$

Hier können drei Möglichkeiten auftreten:

1. t kann bestimmt werden → Schnittpunkt
2. eine wahre Aussage ist das Ergebnis (z. B. 4=4) → Alle Punkte der Gerade liegen in der Ebene → Die Gerade verläuft in der Ebene
3. es gibt keine Lösung (z.B. 0=4) → die Gerade verläuft parallel zur Ebene

4. Gibt es einen Schnittpunkt wird dieser durch das Einsetzen des Wertes für t in die Geradengleichung bestimmt

$$t = - 1$$

$$S = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

Bestimmung der Lage durch Untersuchung von Vektoren

Gegebene Formen

$$E:2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 4$$

$$g:\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$

1. Schnittpunkt / nicht

Ob es einen Schnittpunkt / nicht gibt, kann über den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Gerade bestimmt werden. Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Steht der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zum Normalenvektor, verläuft die Gerade parallel zur oder in der Ebene. Ist dies nicht der Fall gibt es einen Schnittpunkt.

a. Normalenvektor aufstellen

$$E:2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 4$$

$$\overset{⃑}{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \\ \end{pmatrix}$$

b. Über das Skalarprodukt auf Orthogonalität prüfen

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = 4 + 3 = 7 \neq 0$$

Die Vektoren sind nicht Orthogonal, es gibt einen Schnittpunkt.

c. Bei Orthogonalität einen beliebigen Punkt der Gerade (z. B. Ortsvektor) in die Koordinatenform der Ebene einsetzen. Befindet sich dieser in der Ebene, liegt die Gerade in der Ebene, wenn nicht verläuft die Gerade parallel.