Abstandsbestimmung Punkt zu Ebene

Lotgerade

Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht zu ihr. Der gesuchte kürzeste Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene wird durch eine senkrecht auf der Ebene stehenden Gerade zum Punkt erreicht. Um den Abstand zu bestimmen geht man wie folgt vor:

1. Eine Geradengleichung mit dem Punkt als Ortsvektor und dem Normalenvektor der Gerade als Richtungsvektor aufstellen

$$g:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p_{\text{punkt}}} + t \times \overrightarrow{n_{\text{Ebene}}}$$

2. Den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene bestimmen (siehe Merkzettel)

3. Den Vektor, welcher vom gegebenen Punkt zum Schnittpunkt führt bestimmen

4. Die Länge dieses Vektors über den Satz des Pythagoras berechnen

Hessesche Normalenform

Um von der Normalenform auf die Hessesche Normalenform zu kommen, wird der Normalenvektor durch dessen Einheitsvektor vertauscht.

Normalenform

$$\left\lbrack \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right\rbrack \circ \overrightarrow{n} = 0$$

$$\overrightarrow{x} = eingesetzter\ Punkt$$

$$\overrightarrow{p} = Punkt\ auf\ der\ Ebene$$

$$\overrightarrow{n} = Normalenvektor$$

Hessesche Normalenform

$$\overrightarrow{n_{\text{einheits}}} = \frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$$

$$\left| \overrightarrow{n} \right| = \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}$$

$$\left\lbrack \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right\rbrack \circ \overrightarrow{n_{\text{einheits}}} = 0$$

Abstand vom Punkt zur Ebene mit der Hesseschen Normalenform

Methode 1: Einsetzen in die Hessesche Normalenform

$$|\left\lbrack \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right\rbrack \circ \overrightarrow{n_{\text{einheits}}}| = d$$

Für x wird der Punkt zu welchem der Abstand berechnet wird eingesetzt. Die Betragsstriche existieren, da die Entfernung nicht negativ sein kann.

Methode 2: Abstand, falls die Ebene in Koordinatenform vorliegt

 

$$d = \left| \frac{a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} - b}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}} \right|$$

Man setzt den Punkt in die nach 0 umgestellte Koordinatenform ein und teilt durch die Länge des Normalenvektors.

Herleitung

$\cos\left( \alpha \right) = \frac{\text{Amkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{d}{|\overrightarrow{\text{AP}}|}$

Zudem ist die geometrische Definition des Skalarprodukts:

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \times \left| \overrightarrow{b} \right| \times \cos\sphericalangle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$$

$$\cos\sphericalangle\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right| \times \left| \overrightarrow{b} \right|}$$

Übertragen auf die Zeichnung bedeutet dies:

$$\cos\left( \alpha \right) = \frac{\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{\text{AP}}| \cdot |\overrightarrow{n}|}$$

Nun werden die Gleichungen für den Cosinus gleichgesetzt:

$$\frac{d}{|\overrightarrow{\text{AP}}|} = \frac{\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{\text{AP}}| \cdot |\overrightarrow{n}|}$$

Der Betrag von AP kann herausgekürzt werden

$$d = \frac{\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$$

$\overrightarrow{\text{AP}}$ ist der Vektor welcher von A zu P führt, wobei ich a durch p und P durch x ersetze:

$$d = \frac{(\overrightarrow{x} - \overrightarrow{p}) \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$$

$\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$ ist der Einheitsvektor des Normalenvektors, also $\overrightarrow{n_{\text{einheit}}}$

Es ergibt sich die Hessesche Normalenform, wobei zur Bestimmung des Abstandes der gegebene Punkt für x eingesetzt wird.

$$\left\lbrack \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right\rbrack \times \overrightarrow{n} = d$$