Bohrs Atommodell

Vorherige Modelle

Thomson stellte 1897 bei Untersuchungen an einer Glühkathode die Existenz von aus Atomen stammenden Elektronen fest und stellte als Atommodell eine positive Kugel mit darin eingelagerten Elektronen vor. 1911 lenkte Rutherford radioaktive Alpha-Teilchen $\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix}\text{He}^{2 +} \right)$ auf Goldfolie und erkannte am meist ungehinderten Durchdringen durch die Folie, dass Atome größtenteils leer sind. Im Zentrum seines Modells befindet sich ein positiv geladener Kern, welcher von einer Hülle mit negativ geladenen Elektronen umgeben ist.

Probleme von Rutherfords Modell

• Durch das Kreisen würde es zu einem elektromagnetischen Wechselfeld und somit Energieverlust führen
• Der Durchmesser des Atoms ließ sich nicht festlegen.

Bohrs Postulate

Bohr postulierte, dass es Quantenbahnen ohne Energieverlust geben müsse, bei denen gelte:

$$2\pi rp_{\text{elek}} = nh\ (Quantenbedingung)$$

$${p_{\text{elek}} = m}_{\text{elek}}v_{\text{elek}}$$

Hierbei sind die Quantenbahnen Energieniveaus.

1. Bohr-Postulat - Nur diskrete Energieniveaus

2. Bohr -Postulat - Der Energieunterschied der Bahnen bei einem Sprung eines Elektrons entspricht der Energie des ausgestrahlten Photons

$$\mathrm{\Delta}E = hf$$

Geschwindigkeit auf / Radius der Bahnen

Bei der Kreisbewegung der Elektronen wirkt die Coulomb-Kraft als Zentripetalkraft.

$$F_{C} = F_{Z}$$

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q_{1}Q_{2}}{r_{n}^{2}} = \frac{mv_{n}^{2}}{r_{n}}$$

$Q_{1}Q_{2}$ ist das Produkt der sich anziehenden Ladungen, in diesem Fall der Kern des Atoms und ein Elektron. Die Ladung des Elektrons ist $e$, die des Kerns die mit der Kernladungszahl $Z$ (ablesbar im Periodensystem) multiplizierte Elementarladung.

So ergibt sich:

$$\ Q_{1}Q_{2} = Z \cdot e^{2}$$

Eingesetzt und vereinfacht ergibt sich für r:

$$r_{n} = \frac{\text{Ze}^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mv_{n}^{2}}$$

Um v zu entfernen wird die Quantenbedingung genutzt:

$$2\pi r_{n}m_{\text{elek}}v_{\text{elek}} = nh$$

$$v = \frac{\text{nh}}{2\pi rm_{\text{elek}}}$$

$$r_{n} = \frac{h^{2} \cdot \varepsilon_{0}}{\pi \cdot m_{e}{\cdot e}^{2} \cdot Z} \cdot n^{2}$$

Für v ergibt sich nach einem ähnlichen Verfahren (unter Nutzung der
Quantenbedingung):

$$v_{n} = \frac{Ze^{2}}{2\varepsilon_{0}h} \cdot \frac{1}{n}$$

Energie

Für die Energie auf einer Schale ergibt sich:

$$E_{n} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}}$$

Die potentielle Energie wird über die Coulomb-Kraft bestimmt:

$$F_{C} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q_{1}Q_{2}}{r_{n}^{2}}$$

$$E_{\text{pot}} = - W_{C} = - F \cdot s = - F_{C} \cdot r_{n} = - \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q_{1}Q_{2}}{r_{n}} = - \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \cdot \frac{Z \cdot e^{2}}{\frac{h^{2} \cdot \varepsilon_{0}}{\pi \cdot m_{e}{\cdot e}^{2} \cdot Z} \cdot n^{2}} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{Z^{2} \cdot e^{4} \cdot m_{e}}{h^{2} \cdot \varepsilon_{0}^{2} \cdot n^{2}}$$

Für die kinetische Energie gilt:

$$E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$$

$$E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m_{e} \cdot v_{n}^{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{m_{e} \cdot Z^{2} \cdot e^{4}}{\varepsilon_{0}^{2}{\cdot h}^{2} \cdot n^{2}}$$

Dies wird nun eingesetzt:

$$E_{n} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \right)\frac{m_{e} \cdot Z^{2} \cdot e^{4}}{\varepsilon_{0}^{2}{\cdot h}^{2} \cdot n^{2}} = - \frac{m_{e} \cdot Z^{2} \cdot e^{4}}{8 \cdot \varepsilon_{0}^{2}{\cdot h}^{2} \cdot n^{2}}$$

Mängel von Bohrs Modell

1. Exakte Elektronenbahnen und Geschwindigkeiten widersprechen der Unschärferelation
2. Die Bohr-Postulate scheinen willkürlich
3. Das Atom wäre eine ebene Scheibe
4. Widersprüche bei Mehrelektronensystemen

Deswegen entwickelten Schrödinger und Heisenberg ein auf der Quantenphysik basierendes System.