Bernoulli-Experimente

Mehrfach durchgeführter unabhängiger Versuch mit jeweils zwei Ausgängen (Treffer / Niete).

$$P\left( x = k \right) = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$$

Erklärung der Formel

Durch die Formel wird die Summe aller Pfade berechnet, in welchen der Treffer x-mal und die Niete bei den restlichen Versuchen auftritt. Die Summe der Pfade wird über die Multiplikation mit dem Binomialkoeffizienten erreicht.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Für einen Bereich an Treffern wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit verwendet.

$$P\left( a \leq x \leq r \right) = \sum_{a}^{r}{\begin{pmatrix} n \\ x \\ \end{pmatrix} \cdot p^{x} \cdot {(1 - p)}^{n - x}}$$

Für Berechnungen ist häufig die Gegenwahrscheinlichkeit interessant, insgesamt muss der Bereich von 0-n die Wahrscheinlichkeit 1 besitzen. So gilt beispielsweise bei $n = 50$:

$$P\left( 30 \leq x \leq 50 \right) = 1 - P\left( x \leq 29 \right)$$

Über die Gegenwahrscheinlichkeit können Rechnungen oft geschickt vereinfacht werden.

Bei größeren Zahlen muss im Taschenrechner an Stelle der direkten Eingabe der Formel die Funktion Menu → 7 → ⭣ → 1 (Kumul. Binom. -V) genutzt werden. Hierbei stellt k die obere Grenze im Bereich 0-k dar. Sind so im ursprünglichen Intervall nicht umschlossene Bereiche enthalten, so müssen diese berechnet und abgezogen werden.

Binomialverteilung

Beispiel einer Binomialverteilung. Zum Aufbauen von Verständnis kann dieses Tool helfen.

Erwartungswert

Im Durchschnitt zu erwartendes Ergebnis (Anzahl an Treffern) in einem Bernoulli-Experiment.

$$\mu = n \cdot p$$

$$\mu = E\left( x \right) = x_{1} \cdot p_{1} + \ldots + x_{n} \cdot p_{n}$$

Standardabweichung

Durchschnittliche Entfernung der Messwerte vom Erwartungswert im Bernoulli-Experiment.

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$$

Varianz

$$\sigma^{2} = V\left( x \right) = \left( x_{1} - \mu \right)^{2} \cdot p_{1} + \ldots + \left( x_{n} - \mu \right)^{2} \cdot p_{n}$$

Sigmaregeln

Ist die Standardabweichung größer als 3, so können über die Sigmaregeln bestimmten Bereichen recht genaue Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.

h	$P(\mu - h \cdot \sigma \leq X \leq \mu + h \cdot \sigma)$
1	68,3%
2	95,4%
3	99,7%
1,64	90%
1,96	95%
2,58	99%

Die über diese Regel berechneten Intervallgrenzen sind häufig keine ganzen Zahlen, wobei dann die untere Grenze auf- und die obere Grenze abgerundet wird.