Quantenzahlen, Pauli-Prinzip und Zuteilung von Elektronen

Quantenzahlen

Nicht alle Messgrößen der Quantenmechanik haben einen wohlbestimmten Wert. Bei denen, welche einen besitzen, wird der Zustand zu der Messgröße als Eigenzustand und der wohlbestimmte Wert als Eigenwert bezeichnet. Einem solchen Zustand kann eine Quantenzahl zugeschrieben werden. Im Folgenden werden alle Quantenzahlen aufgeführt, welche zur vollständigen Beschreibung eines Elektrons im Wasserstoff-Atom benötigt werden.

Name	Symbol	Mögliche Werte	Bedeutung
Hauptquantenzahl	$$n$$	$$n = 1,2,3\ldots$$	Schale / Hauptenergieniveau, Bezeichnung: K, L, M, N …
Bahnquantenzahl (auch Drehimpulsquantenzahl / Nebenquantenzahl)	$l$	$l = 1,2,3\ldots < n$	Form des Orbitals, Bezeichnung: s für $l = 0$, p für $l = 1$
Magnetische Quantenzahl des Bahndrehimpulses	$m_{l}$	$m_{l} = - l\ldots - 1,0,1\ldots l$	Räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpulses
Spinquantenzahl	$s$	$s = \pm \frac{1}{2}$	Eigendrehimpuls des Elektrons

Pauli-Prinzip

Keine zwei Elektronen des Atoms können in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen.

Aus diesem Satz folgen die möglichen Anzahlen von Elektronen in Schalen, wie dieses Schema zeigt.

Für die maximale Anzahl von Elektronen in einer Schale gilt:

$$N = 2 \cdot n^{2}$$

Hieraus folgt auch die Zuteilung von Elektronen in Schalen.

Zuteilung von Elektronen

Befüllen nach Schalen

Die Schalen werden von unten aufgefüllt, wobei die maximale Besetzung einer Schale nach den Quantenzahlen und dem Pauli-Prinzip mit $N = 2 \cdot n^{2}$ berechnet wird. Für die untersten vier Schalen ergibt sich:

Schale	Anzahl der Elektronen
K	2
L	8
M	18
N	32

Die Anzahl der Elektronen folgt aus der Ordnungszahl, in der äußersten Schale können sich höchstens 8 Elektronen befinden.

Befüllen der Orbitale (Elektronenkonfiguration)

Nach dem Orbitalmodell befinden sich die Elektronen eines Atoms in bestimmten Aufenthaltsräumen -- den Orbitalen. Aufgrund des Pauli-Prinzips befinden sich in jedem Orbital maximal nur zwei Elektronen (nur die Spinquantenzahl kann sich unterscheiden und nur zwei Werte $\left( \pm \frac{1}{2} \right)$ annehmen).

Die Orbitale werden nach ihrem Energieniveau unterschieden. Befinden sich beispielsweise drei Orbitale auf einem Energieniveau, so sind dies p-Orbitale.

Bezeichnung	Anzahl der Orbitale auf einem Energieniveau
s	1
p	3
d	5
f	14

Innerhalb eines Energieniveaus werden die Orbitale nach der Hundschen Regel normalerweise erst alle einfach und danach doppelt besetzt.

Die Besetzung geschieht normalerweise nach diesem Energieschema.

Notation

Nummer der Schale, dann Buchstabe der Unterschale (Energieniveau), dann hochgestellt die Anzahl der Elektronen in der Unterschale.

Beispiel:

So ergibt sich für die eine mit 5 Elektronen besetzte p-Unterschale der 3. Schale die Schreibweise $3p^{5}$

Bei mehreren Unterschalen kann zudem die gemeinsame Schale weggelassen werden:

$$2s^{2}2p^{3} \rightarrow 2s^{2}p^{3}$$

Beispiel Chlor: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁵

Eine andere mögliche Darstellung für Elektronenkonfigurationen ist die Kästchenschreibweise.