Kreise und Kugeln in der analytischen Geometrie

Gleichungen

Kreis

$$\left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{m} \right)^{2} = r^{2}$$

Alle Punkte im zweidimensionalen Raum, deren Vektoren zum Mittelpunkt die Länge des Radius haben, liegen auf dem Kreis. Umgeschrieben ergibt sich:

$$\left( x_{1} - m_{1} \right)^{2} + \left( x_{2} - m_{2} \right)^{2} = r^{2}$$

Kugel

Im dreidimensionalen Raum legt die Form $\left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{m} \right)^{2} = r^{2}$ nach dem gleichen Prinzip wie bei dem Kreis eine Kugel fest. Es ergibt sich:

$$\left( x_{1} - m_{1} \right)^{2} + \left( x_{2} - m_{2} \right)^{2} + \left( x_{3} - m_{3} \right)^{2} = r^{2}$$

Für die Lage eines in die Gleichung eingesetzten Punktes zur Kugel ergeben sich drei Möglichkeiten:

1. Auf der Kugel -> die Gleichung ist erfüllt
2. In der Kugel -> das Ergebnis ist zu klein
3. Außerhalb der Kugel -> das Ergebnis ist zu groß

Falls die Gleichung für die Kugel nicht in der hier aufgeführten Form vorliegt, so kann durch quadratische Ergänzung zu dieser gelangt werden.

Lagebeziehungen

Für die Lagebeziehungen werden meist die Abstände und Radien der Objekte betrachtet.

Kugel zur Ebene

Hier gibt es drei Fälle:

1. Schnittkreis
2. Tangentialebene (Berührung in einem Punkt)
3. Kein Schnittpunkt

Hierzu wird der kürzeste Abstand d vom Mittelpunkt der Kugel zu der Ebene berechnet und mit dem Radius verglichen. Für die Fälle gilt:

1. Der Punkt auf der Ebene mit dem kürzesten Abstand zum Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt des Schnittkreises. Zum Bestimmen kann der Normalenvektor der Ebene als Einheitsvektor mit dem Abstand (herausgefunden durch die Hessesche Normalenform der Ebene) multipliziert auf den Mittelpunkt addiert werden. Der Radius des Schnittkreises wird über den Satz des Pythagoras bestimmt.

Quelle: unsicher (evtl. aus dem Internet, allerdings nicht erneut über die Bildersuche etc. gefunden)

Aus der Skizze ergibt sich: $r^{2} = d^{2} + {r´}^{2}$. Hieraus folgt für den Radius des Schnittkreises: $r´ = \sqrt{\ r^{2} - d^{2}}$

2. $r = d$

3. $r < d$

Kugel zu Gerade

Die Parametergleichung der Geraden wird in die Kugelgleichung eingesetzt.

Keine Lösung → kein gemeinsamer Punkt

Eine Lösung → Gerade berührt Kugel

Zwei Lösungen → Gerade schneidet Kugel

Bilden einer Tangentialebene

Ist ein Punkt auf der Kugel gegeben, so lässt sich mit Hilfe dieses eine Tangentialebene zur Kugel bilden. Der Vektor vom Mittelpunkt der Kugel zum gegebenen Punkt stellt hierbei den Normalenvektor und der gegebene Punkt den Stützvektor dar.

Polarebene

Die Berührpunkte aller Tangenten von einem Punkt außerhalb der Kugel an die Kugel bilden einen Kreis beziehungsweise eine Polarebene. Es gilt:

$$E:\left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{m} \right) \cdot \left( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{m} \right) = r^{2}$$

$$\overrightarrow{p} = Vektor\ des\ Punktes\ außerhalb\ der\ Kugel$$

$$\overrightarrow{m} = Mittelpunkt\ der\ Kugel$$

$$r = Radius\ der\ Kugel$$