Hypergeometrische Verteilung

Eine hypergeometrische Verteilung ähnelt der Binomialverteilung, wobei das Ziehen ohne Zurücklegen stattfindet.

Beispiel:

Von 50 Autoteilen sind 10% defekt. 8 Teile werden entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 hiervon defekt sind.

Dadurch, dass nicht zurückgelegt wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit. Es braucht die hypergeometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der Anzahl an Möglichkeiten, 5 aus den 45 guten Teilen und 3 aus den 5 schlechten Teilen zu ziehen an der Anzahl an Gesamtmöglichkeiten, 8 aus 50 zu ziehen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 aus den guten und 3 aus den schlechten Teilen zu ziehen?

$$\begin{pmatrix} 45 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$$

Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 8 aus 50 Teilen zu ziehen?

$$\begin{pmatrix} 50 \\ 8 \\ \end{pmatrix}$$

Da es sich um Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge handelt, wird jeweils der Binomialkoeffizient genutzt.

Insgesamt ergibt sich:

$$P\left( X = 3 \right) = \frac{\begin{pmatrix} 45 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 50 \\ 8 \\ \end{pmatrix}} = 0,0227$$

Allgemeine Formel

$$K = Anzahl\ der\ Objekte\ mit\ Merkmalsausprägung$$

$$k = Anzahl\ der\ gezogenen\ Objekte\ mit\ Merkmalsausprägung$$

$$N = Anzahl\ der\ Objekte$$

$$n = Anzahl\ der\ gezogenen\ Objekte$$

$$P\left( x = k \right) = \frac{\begin{pmatrix} K \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N - K \\ n - k \\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \\ \end{pmatrix}}$$

Anders als bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für jeden Zug nicht unabhängig voneinander. Hier geht es meist um einen gezogenen Bereich aus einer Gesamtmenge.

Erwartungswert

$$\mu = np = n\frac{K}{N}$$

Varianz

$$\text{Var}\left( X \right) = n\frac{K}{N} \cdot \left( 1 - \frac{K}{N} \right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}$$

Maß für die Streuung um den Erwartungswert (→ Standardabweichung).