Geraden - Formen und Punktprobe

Parameterform

$$g:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{r}$$

$$\overrightarrow{p} = Ortsvektor$$

$$\overrightarrow{r} = Richtungsvektor$$

Über diese Gleichung sind alle Punkte auf der Geraden definiert, sie sind vom Ortsvektor aus über den Richtungsvektor zu erreichen.

Normalenform

Eine Gerade im zweidimensionalen Raum kann durch die Normalenform bestimmt werden. Sie kann durch einen Stützvektor $\overrightarrow{p}$, welcher der Ortsvektor eines auf der Gerade liegenden Punktes ist und den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, welcher mit der Gerade einen rechten Winkel bildet, dargestellt werden.

Ein Punkt für dessen Ortsvektor $\left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) \cdot \overrightarrow{n} = 0$ gilt, liegt auf der Gerade.

Berechnung aus der Parameterform

Der Stützvektor bleibt gleich. Für den Normalenvektor werden die Komponenten des Richtungsvektors und bei einer Komponente das Vorzeichen vertauscht.

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Koordinatenform

Im zweidimensionalen Raum kann eine Gerade auch durch die Koordinatenform beziehungsweise als lineare Gleichung durch drei reelle Zahlen beschrieben werden.

$$ax + by = c$$

Diese Form entsteht durch ausmultiplizieren der Normalenform.

Punktprobe

Punkt mit Geradengleichung gleichsetzen, t berechnen (muss für jede ,,Zeile“ gleich sein).

^[i] Quartl, Line equation qtl3, CC BY-SA 3.0