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Bestimmung der Elementarladung nach Millikan

Elektrische Ladungen treten als ganzzahlige vielfache der Elementarladung e auf. Diese Elementarladung konnte Millikan durch seinen Versuch recht genau bestimmen. Zerstäubt man Öl in kleine Tröpfchen, so kommt es zu schwacher Ladungstrennung und Ladung der Tröpfchen. Die gemessenen Ladungen müssen ein ganzzahliges vielfaches der Elementarladung sein. Zur Bestimmung von der Ladung werden zerstäubte Tröpfchen in einen Kondensator gegeben und von hinten bestrahlt mit einem Mikroskop betrachtet.

Schwebefeldmethode

Wenn man die Tröpfchen durch Anlegen einer Spannung zum Schweben bringt, muss die durch die Spannung wirkende elektrische Kraft der Gewichtsanziehungskraft entsprechen.

F_{e} = F_{g}

$F_{e} = F_{g}$

Q E = m g

$QE = mg$

E = \frac{U}{d}

$E = \frac{U}{d}$

Q \frac{U}{d} = m g

$Q\frac{U}{d} = mg$

Q = \frac{mgd}{U}

$Q = \frac{\text{mgd}}{U}$

m kann auch über das Volumen und die Dichte ausgedrückt werden. Bei den
Tröpfchen handelt es sich um Kugeln.

V = \frac{4}{3} π r^{3}

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

ρ = \frac{m}{V}

$\rho = \frac{m}{V}$

m = ρ \frac{4}{3} π r^{3}

$m = \rho\frac{4}{3}\pi r^{3}$

Daher ergibt sich für Q:

Q = \frac{4 r^{3} πpgd}{3 U}

$Q = \frac{4r^{3}\text{πpgd}}{3U}$

Probleme bei dieser Methode

Der Schwebefall ist durch auftretende leichte Luftströme und die Brownsche Molekularbewegung schwer einzustellen.
Der Radius der Tröpfchen lässt sich aufgrund von Beugungserscheinungen nicht genau feststellen (diese scheinen größer).

Ladungsbestimmung bei Bewegung im Kondensatorfeld

Bei der Ladungsbestimmung durch Bewegung werden die Tropfen zwischen zwei Messmarken durch Umpolung der Spannung hin und her bewegt. Insgesamt treten hierbei drei Kräfte auf:

In der Luft tritt eine Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz auf $F_{r} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v$ . Hierbei ist $\eta$ die Zähigkeit des Mediums ( $\frac{\text{kg}}{m{^\circ}s}$ ).
Die Gewichtskraft $F_{g} = mg$
Die elektrische Kraft $F_{\text{el}} = QE$

Beim Steigen und Sinken kommt es nach kurzem zu einem Kräftegleichgewicht und einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Beim Steigen gilt im Kräftegleichgewicht:

F_{el} = F_{g} + F_{r}

$F_{\text{el}} = F_{g} + F_{r}$

Q E = m g + 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1}

$QE = mg + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1}$

Beim Sinken gilt im Kräftegleichgewicht:

F_{r} = F_{g} + F_{el}

$F_{r} = F_{g} + F_{\text{el}}$

6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2} = m g + Q E

$6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2} = mg + QE$

Die Sink- und die Steiggeschwindigkeit können gemessen werden.

Nach Q aufgelöst ergibt sich für r:

\frac{m g + 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1}}{E} = \frac{6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2} - m g}{E}

$\frac{mg + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1}}{E} = \frac{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2} - mg}{E}$

m g + 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1} = 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2} - m g

$mg + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2} - mg$

2 m g + 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1} = 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2}

$2mg + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2}$

2 m g = 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2} - 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1}

$2mg = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2} - 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1}$

m g = 3 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot {(v}_{2} - v_{1})

$mg = 3 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {(v}_{2} - v_{1})$

Für m wird $m = \rho\frac{4}{3}\pi r^{3}$ eingesetzt

4 ρ r^{2} g = 9 \cdot η \cdot {(v}_{2} - v_{1})

$4\rho r^{2}g = 9 \cdot \eta \cdot {(v}_{2} - v_{1})$

r^{2} = \frac{9 \cdot η \cdot {(v}_{2} - v_{1})}{4 ρ g}

$r^{2} = \frac{9 \cdot \eta \cdot {(v}_{2} - v_{1})}{4\rho g}$

r = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{η}{ρg} \cdot {(v}_{2} - v_{1})}

$r = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{\eta}{\text{ρg}} \cdot {(v}_{2} - v_{1})}$

Nach mg aufgelöst ergibt sich:

2 Q E = 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot {(v}_{2} + v_{1})

$2QE = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {(v}_{2} + v_{1})$

Die Lösung für r wird eingesetzt:

2 Q E = 6 \cdot π \cdot η \cdot \frac{3}{2} \sqrt{\frac{η}{ρg} \cdot {(v}_{2} - v_{1})} \cdot {(v}_{2} + v_{1})

$2QE = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \frac{3}{2}\sqrt{\frac{\eta}{\text{ρg}} \cdot {(v}_{2} - v_{1})} \cdot {(v}_{2} + v_{1})$

Es gilt: $E = \frac{U}{d}$

2 Q U = 9 \cdot d \cdot π \cdot η \sqrt{\frac{η}{ρg} \cdot {(v}_{2} - v_{1})} \cdot {(v}_{2} + v_{1})

$2QU = 9 \cdot d \cdot \pi \cdot \eta\sqrt{\frac{\eta}{\text{ρg}} \cdot {(v}_{2} - v_{1})} \cdot {(v}_{2} + v_{1})$

Q = \frac{9 \cdot d \cdot π}{2 \cdot U} \cdot \sqrt{\frac{η^{3}}{ρg}} \cdot \sqrt{{(v}_{2} - v_{1})} \cdot {(v}_{2} + v_{1})

$Q = \frac{9 \cdot d \cdot \pi}{2 \cdot U} \cdot \sqrt{\frac{\eta^{3}}{\text{ρg}}} \cdot \sqrt{{(v}_{2} - v_{1})} \cdot {(v}_{2} + v_{1})$

Die Wurzel wurde aus ästhetischen Gründen aufgeteilt.

Methode mit Sinken ohne Feld

Beim Sinken ohne zusätzliches E-Feld müssen sich nach kurzer Zeit die Gewichtskraft und die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz entsprechen.

F_{g} = F_{r}

$F_{g} = F_{r}$

m \cdot g = 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2}

$m \cdot g = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2}$

m = V \cdot ρ

$m = V \cdot \rho$

Es wird angenommen, dass die Tröpfchen Kugeln mit dem Radius r sind.

V = \frac{4}{3} π r^{3}

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

m = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} \cdot ρ

$m = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \cdot \rho$

\frac{4}{3} \cdot π {\cdot r}^{3} \cdot ρ \cdot g = 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{2}

$\frac{4}{3} \cdot \pi{\cdot r}^{3} \cdot \rho \cdot g = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2}$

r = \sqrt{\frac{9 \cdot η \cdot v_{2}}{2 \cdot ρ \cdot g}}

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot \eta \cdot v_{2}}{2 \cdot \rho \cdot g}}$

Dieses Ergebnis für den Radius wird in die Gleichung für das Steigen mit
E-Feld eingesetzt.

F_{el} = F_{g} + F_{r}

$F_{\text{el}} = F_{g} + F_{r}$

Q E = m g + 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1}

$QE = mg + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1}$

Für m wird erneut
$m = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \cdot \rho$ eingesetzt.

Q E = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} \cdot ρ \cdot g + 6 \cdot π \cdot η \cdot r \cdot v_{1}

$QE = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \cdot \rho \cdot g + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1}$

Nun wird r zum einfachen Einsetzen und Ausrechnen ausgeklammert.

Q E = r \cdot (\frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot ρ \cdot g + 6 \cdot π \cdot η \cdot v_{1})

$QE = r \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot \rho \cdot g + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot v_{1} \right)$

Daraufhin wird der Zusammenhang für r eingesetzt.

Q E = \sqrt{\frac{9 \cdot η \cdot v_{2}}{2 \cdot ρ \cdot g}} \cdot (\frac{4}{3} \cdot π \cdot \frac{9 \cdot η \cdot v_{2}}{2 \cdot ρ \cdot g} \cdot ρ \cdot g + 6 \cdot π \cdot η \cdot v_{1})

$QE = \sqrt{\frac{9 \cdot \eta \cdot v_{2}}{2 \cdot \rho \cdot g}} \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{9 \cdot \eta \cdot v_{2}}{2 \cdot \rho \cdot g} \cdot \rho \cdot g + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot v_{1} \right)$

Q E = \sqrt{\frac{9 \cdot η \cdot v}{2 \cdot ρ \cdot g}} \cdot (6 \cdot π \cdot η \cdot v_{2} + 6 \cdot π \cdot η \cdot v_{1})

$QE = \sqrt{\frac{9 \cdot \eta \cdot v}{2 \cdot \rho \cdot g}} \cdot \left( 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot v_{2} + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot v_{1} \right)$

Q E = \sqrt{\frac{9 \cdot η \cdot v_{2}}{2 \cdot ρ \cdot g}} \cdot 6 \cdot π \cdot η \cdot (v_{2} + v_{1})

$QE = \sqrt{\frac{9 \cdot \eta \cdot v_{2}}{2 \cdot \rho \cdot g}} \cdot 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot (v_{2} + v_{1})$

E = \frac{U}{d}

$E = \frac{U}{d}$

Q = \frac{6 \cdot π \cdot η \cdot d}{U} \sqrt{\frac{9 \cdot η \cdot v_{2}}{2 \cdot ρ \cdot g}} \cdot (v_{2} + v_{1})

$Q = \frac{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot d}{U}\sqrt{\frac{9 \cdot \eta \cdot v_{2}}{2 \cdot \rho \cdot g}} \cdot (v_{2} + v_{1})$

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